Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE 111. - CHAP. It.

subsititons "a la place dejf(u), dans les formules (24), la fonction
plus generale qui satisfait encore 'a le'quation (23)
f( u) A A(i - It2) A- B(i~ — It2) ~ ICt.
Les expressions de x, y, z s'Iy trouveront augmente'es respectivement de
-4J A1A -4 PB, -4 C.
On pourra disposer des parties re'elles des cons tantes A, B, C de
manie're 'a rendre identicjues les deux. surfaces repre'sentL~cs par le s
formules (23) et (94); quant aux parties imaginaires de ces constant~es, elles demeuireront enti 'rement arbitraires. On pourra
donc, sans changer la surface, subsuituer "a la valeur obtenuc pour
fAu) 1'une quelconque des fonctions comprises dans 1'ex pression
gen'5rale
f(ua) ~4 ai(i - U2) -b b(i -v 2) -~- cil,
oh aI b, c soul trois constantes ree lies quelconques.
I92. Revenons aux formules (23). Elles C'tablisscnL, co-mme I'a
fait remarquer M. Weierstrass, le lien le plus ktroit entre la
the'orie des fonctions imaginaires ct celle des surfaces minima. En
effeta L oute fonction 3S(u), ces formules font correspondre tine
surface minima re'elle dont les diff~rentes proprie'tes don neront la
repre~sentation ge'onie'rique la plus parfaite et la plus e'~egante de,
toutes les relations analytiques auxcjuelles'la fonction clonne naissauce.
Cette surface minima est pleinement determinue' de forme et
d'orientation, mais elle peut are de'place'e paralle'lement 'a eleimfeme, si Fon ajoute des constantes quelconques aux in11'gralcs
cjui figurent dans les formules (2-3). On pent done dire qu'a' une
fouction S(u) de J,'argumnent imaginaire correspond unc seule surface mninima, mais la proposition re'ciproqjue n'est pas vraie en
general. 11 suffit, pour le reconnaitre, de rem-arquer cjue les formules (2i) et (22) du no 190 nous condnisent 'a deux syste'mes
diff6rents de -valeuLrs pour it et it, ct, par consecquent hIa deux
valeurs,, diff~rentes en general, pour la fonction i(ut).
On arrive au Meme re'sultat par le raisonnement suivanL. Reprenons les form-Lles (17) et cherchons si lPon peut leur substi