Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SUJRFACES. MINIM~A. 293
dont depend la position du point sont alors la partie re'elle et la
partie imaginaire de I'argument it.
En ce qui concerne la recherche des surfaces re~elles, les formules (i8) pre'sentent une le~gere difficutife' Ii est clair que, si L'on
y substitue pour f(ut), f, (ut,) deux fonctions imaginaires conjugue'es, la surface correspondante aura des nappes re'elles que l'on
obtiendra en donnant 'a it et 'a It, des valeurs imaginaires conjugue'es; mais la proposition re'ciproque n'est pas exacte. Pour
que la surface minima soit re'elle, Ai n'est pas nelcessaire que
j(u) et f, (it,) soient des fonctions imaginaires conjuguLiees. En
effet, les expressions de x, y, z ne changent pas, on le ve'ifie
aise'ment, si 1'on y remplace f(it), f, (it,) respectivement par
A, B, C de'signant des constantes quelconques. En admettant
Meme que 1(u) et f, (it,) soient des fonctions imaginaires conjugue'es, la menme proprie't6 ne saurait appartenir aux fonctions
Tp(it), T, (it.,) pour toutes les valeurs des constantes A, B, C. Mais
on peut de'montrer que, dans le cas oA" la surface minima est
reelle, parmi toutes les determinations possibLes du systeme des
deux fonctions f(ui), f, (it,), iL en existe, toujours uine infinite' pour
lesquelles Les deux fonctions sont imaginaires conjugue'es.
En effet, les equations
(X=JI{ [(l- U2)f"(it) ~ 21,tf'(t) - 2f(U)],
(24) ~ y:jlPi[I-~2)f"(a)-2UfI(u)~+2f(U)],
representent e'videmment une surface r~eelle; et pour toute
fonction f(ui) satisfaisant 'a e'6quation
(25) f"()=S )
les difflirentielles des coordonne~es de'duites des formules (294) sont
ideutiques "a celles que l'on obtient an moyen des formules (2-3);
par consequent Les equations (23) et (24) repre'sentent deux
nappes r~eeles que l'on pourra toujours faire cofucider par Une
simple translation imprime'e "a l'une d'elles. Ce point e'tant admis,