Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE III. - CHAP. 11.

Comme le raisonnement s'applique e6galement "a la fonction
fi (III), la proposition de MV. Weierstrass est comple'tement de'mon tre'e.
191. Rechercbons maintenant "a quelles conditions la surface
represente'e par les dquations (1 7) on (i 8) sera reelle. Conside'rons,
d'abord les formules (1 7); si l'on y prend pour J3(it), gj, (u) des
fonctions imaginaires conjugue'es et si, de plus, les integrales relatives 'a' a et "a u1 sont prises suivant des chemins irnaginaires
conjugue's, les expressions des diff~rentes coordonn~es seront
evidemment re'elles; car, "a chaque element de l'inte'grale relative 'a
it, on pourra faire correspondre, dans chacune des trois formules,
un element irnaginaire conjugue~ de l'autre integrale. Nous allons,
montrer que ces conditions, qui sont sufflisantes, sont auissi netcessaires.
Reportons-nous en effet aux formules (20) 'a (22A). Pour totL
po~int r~ee d'une inappe re'elle, on pourra supposer que les deux
systemes de rapports ax, ay, ~z; ~'x, ~'y, a'z de'finis par les formules (20o) se de'duisent, lun de l'autre par le changement, de i en
- i. Par suite les valeurs de u et de it, de'duites de F'n on l'autre
des syste~mes (21i), (-22) seront imaginaires conjugue'es.
On de'duit, d'autre part, des formules (17) les suivantes
ax a) ax a
Corume les premiers membres de ces relations sont imaginaires.
conjugue's, il en sera de me~me des seconds. Les fonctions ~f(t),
3i, (ut1) doivent donc etre imaginaires conjugue'es, ainsi que les,
arguments u, a1.
1i re'sulte de la" que les nappes re'elles de la surface minima
seront repre'sente'es par les equations
(23) y-JIfi( 2 u u
z - J_~f 2 u3 u) du,
le signe cAi, de'jai employed (no 126), indiquant que l'on prend su
lement la partie re'elle de la fonction. Les deux variables re'elles;