Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES MINIMIA. 2(9I
determinent deux systemes differents de valeurs pour les diff'erentielles dx, cly, dz. Soient
X, oy, oz; 3'x, o'y, 'z
ces deux systemes diff6rents; it et ut seront evidemment definis,
soil par les formules
3.r - i 3y 3 q- Ti '.y
(1) pa r- s sl — =- a 1
soil par les suivantes
o'x- i'y,o '- ioy
(22) -- ug, - =- Z,
0 z ' z
ct seront par consequent, dans le cas qui nous occupe, des
fonctions algebriques de x et de y. Reciproquement x, y e, par
suite, z seront des fonctions algebriques de u et de it,. Soit
l'expression de l'une quelconque des coordonnees; on aura une
relation algebrique
F[ i(t))-+I- ic( ), i), i1 ] 0.
II resulte de la, evidemment, que y(u) e,(i(ti) seront ces
fonctions algebriques; car si, dans l'equation prcecdente, on
donne it it,, par exemple, une valeur numerique quelconque,? (ut1) prendra une valeur constante et il restera une equation
algebrique determinant? ( t).
En appliquant cette proposition aux trois coordonnees, nous
voyons que les parties de leurs expressions qui ne dependent que
de it
I 1 12
I-i- It2
a = Zf"( ft) — ( it) f
2
-uf'(u)-f'(ut),
sont des fonctions algebriques de u; il en sera done de meme de
la combinaison
a(I - U2) p i( i + 2) +- 2 t - 2 t /().