Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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290 ~~~~LIVRE III. - CHAP. II.

et, Si e'ndsigne par Po ' T(o.) la valeur commune de ces rapports, 'I
fau~dra substituer aux formules (iy) les suivantes
x u i-t'u) J1 (ut,) dal,
a I2 (I It) (it,) cia1,
Les courbes it, const. seront des droites paralle"Ies allantL rencontrer le cercie de l'infini. La surface correspondante sera done
un cylindre imaginaire ( ').
Si it et it, etaient toutes les deux~ constantes, la surface, on le
reconnaitra aise'ment se r'd~uirait "t un plan.
190. Apre's avoir signalea cc cas exceptionnel, revenons aux
formules (17) et (i8). Nous ailons indlicuer d'abord comment on
en de'duit toutes les surfaces algeabriqjies.
Si les fonctions designees parf(ia), f., (ii,) dans les form-ules
(i8) sont algeabriques, la surface minima correspondante le sera
aassi. Nous allons da'montrer la proposition reaciproque et prouver
que la surface minima ne pent eLre alge'brique quie si les fone Lions
f(at)2, 1(u1 ) sont algAbriques.
Les forntitles (iy) nous donnent les relations
Ox aOy Ox aOY
(iq) ~ Ot01 -u Ot a1,
Oz ~~~~O z
Olt Ott,
dont les premiers membres peuvent are calcule's, car its se rapportentLia des d'placements effectue's suivrant les lignes de longtueur nuille de la surface; p et q de'signantL les de'rive'es partielles
de z, les eqcuations
(20) dz = p dx -+- q dy,
dIx 2-+- Cly 2 _+dZ2 -

(1I) Les surfaces de cette nature sont celles qui ont Wt signal6es par Poisson
dans le tome II de la Corresponidane sar 1'E~cole Polytechniqtte. Voir P. 275.