Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES MIINIMA.

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equation de la forme
02 0 A 00 00
o A - = o.
0~ du dp
On aura done
a02x Ox Ox
(I) dp-A - -B 0=o,
A o -B = ~o
O Oz Oz dz
d2Z A da-B = ~'
et de plus, par suite du choix particulier de a et de o,
OX \2 ^y 72 d\ 2
(0)+ ( t) + (d ) = 0,
(12) i ( ^\z)2 +(ay2 2 =
Les formules (I I) et (12) expriment evidemment Loutes les conditions resultant, et de la definition de la surface, et du choix des
coordonne&os.
Or, si l'on differentie la premiere des equations (I 2) par rapport
a [, la seconde par rapport a a, et que l'on remplace les derivees
secondes par leurs valeurs tireees ds equations ( 1), on trouvera
/ Ox dx Oy y dz Oz
i p + 4x P 4 A = o,
/ (ax+ yay + )z n B
[ + +~ 0a dn 0B -o.
Comme on ne peut avoir
OX ax ax y y y z Oz
Aa d x d' = ~'
sans quoi l'arc de toute courbe tracee sur la surface serait nul, il
faut que A et B soient nuls; les equations ( i) se reduiront aux
suivantes
d2 02y 02 z
O=a 0 O= 0' =, =