Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

284 LIVRE III. - CHAP. II.
n6gative; on obtiendra donc une surface dont l'aire sera plus
petite que celle de (s).
Ainsi la premi~re condition pour que l'aire de (1) soi lah plns
petite possible est que la Somme des rayons de courbure principaux soil nulle en chacjue point de la surface, ou, ce qui est la
rneme chose, que lFindicatrice soil parLout unehyebl qi
late're. L'usage a pre'valu d'appeler surfaces minima Lotit-es celles
qui satisfont 'a ce~tie condition; mais la me'thode que nons avons
s uivie mon01tre bien clue, Si elle est ne'cessaire, elle ne sera pas
touj ours suffisante. Faisons en effet R'z -R dans la formule (9);
' expression de AS deviendra
(lo) 3J (e;7 2e2 - ~ \Jcl tc1 v
les termes ne'glige's e'tant dui troisie'me ordre par rapport i L et ii
faudra que l'int'grale double qui figuLre dans le second menmbre de
cette formule Soit positive quand on y substituera une fonction
quelconque, assuijettie seulemnent 'a s'annuler en tons les points du
contour de (s). Nons reviendrons plus loin Sur cette condition
supple'mentaire et nous nons attacherons d'abord "a la de'terminalion des surfaces pour lesqueltes la somm-e des rayons de courbure
est e4gale 'a zero.
186. No-Ls venous de voir que l'on peuit les de'finir encore en renmarqnant que l'indicatrice est une hyperbole ecquilae're on, quLe
les lignes asymptotiques se coupent "a angle droiL. Ii y a avantage
at enoncer la proprikt' caracte'ristique des surfaces minima sous la
forme snivante:Les detx families de lignes de ion guieur nidlie
17race'es surl la surface cloiventf former tin -e~seatt conj ug-t4. On
sail en effet que l'hyperbole e~quilate're est la seule conicjue admettant pour diame'tres conjugues los deux droites de coefficients
ang~ulaires +-ieLt —i.
Ce point e'tant admis, prenonas comme variables inde'pendantes o
ci f3 les paramietres dle ces denx syste~mes de lignes de, lonugeur
nulle. Puisqu'elles forment un re'seau conjugue, les coordonne'es
rectangulaires x, y, z seront trois solutions particulie'res d'nne