Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES AMINIAIA.

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etendue a toutes les valeurs de u, v correspondant aux points
de (E) situes a l'interieur de (C); et cette aire, developpee suivant
les puissances de la quantite infiniment petite qui entre en facteur
dans X, pourra s'ecrire
iS = EG dte d-J EG( - + ) du d
(8) 2 2
( s ) i -J EGL RR' 2-22 2 g2R'2 dt d,
les termes negliges etant du troisieme ordre seulement. Si ['on fait
X - o, on trouve l'aire de (S). L'accroissement de l'aire quand on
()asse de (Y) a (s') sera done determine par la fortmale
S ---- EG) - t)dt c
4 EG RH' I -e [R- 4- e d+ du dv,
Jii-~~ J L^ K' ^e2R K' fC2 2,t^R'L2 J
au meme ordre d'approximation qae precedemment.
II resulte immediatement de la qu'il faul, pour qu'une surface
soit minima, que la somme de ses rayons de courbure principaux
soit nulle en chaque point. En effet, supposons qu'il en soit autrement et prenons pour ), une expression de la forme
)'- t (+i )'
etLant une fonction de u et de v qui devra s'annuler en tous les
points du contour (C) et mn une constante infiniment petite. L'expression (9) de AS prendra la forme
AS = - J EG, 1 -1' ) dt dv,
les termes negliges etant de lordre de m2. L'integrale precedente
n'est pas nulle, puisque touls ses elements ont le mnme signe On
peut done prendre nm assez petit pour que les termes negliges, qui
sont de l'ordre de n2, soient plus petits que le precedent et, par
consequent, pour que chaque element de AS ait le signe de - m.
En donnant a m le signe positif, on trouvera pour AS une valeur