Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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L1VRE III. - CHAP. II.

on aura evidemnment
E2 = e2R2, G2 R'2g2,
et l'on obtiendra pour l'element lineaire de la surface (E) l'expression
(4) ds2 = R2 e2 ca --- R'2 g2 dV = E2 du2 G2 d2.
Cela pose, considerons une surface (') infiniment voisine de (E);
la normale en un point M de (E) rencontre (s') en un point M'.
Designons par ), la distance MM'; la surface (2') sera, evidemment,
definie si l'on donne'), en fonction de u et de v, et les coordonnees
X, Y, Z d'un point de (,') seront determinees par les formules
X = x -- c, Y =y - c'), Z = z - c",,
qui donnenL
dZc = ( X - R)- du — R') cdv -r- ( X - c" dX
(5) * lY -=(),- R)dt — (, \ ---c',
dZ = (X - R) dt du - ) - R') - dv -4- c' dX.
On en deduit, pour l'element lineaire de (s'), l'expression
(6) ds'2 =-( - R)2e2 du2 +(k - R')2g 2 2dv -~- dcl
et, pour l'element superficiel,
S = EG ( -- )I R ^ ) — R _ A -_ i
R 1 e-(j- R)2 g2(X -Rf)2
185. Supposons maintenant que l'on considere une portion
de (,) limitee par un contour (C) et que l'on veuille comparer
Flaire de cette portion a celle d'une surface infiniment voisine (')
passant par le meme contour. Alors ) devra etre une fonction
infiniment petite s'annulant en tous les points de (C). L'aire de
(s') sera representee par 1'integrale double
/ /C)X 2 *X 2) "
(7) S: EG -- (I ---wR'I+ d2 (vR)
% R C2 - R)2;''- ( X- R'