Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LIVRE' III. - CHAP. II. - SURFACES MINIMA. 28

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CHAPITUE II.
LES SURFACES MINIMA ENV COORDLONNItES PONCTIJELLES.
Premi~re condition A laquelle doit satisfaire la surface minima passant par un
contour donn6. - Intdgration de 1'6quation aux d~rivdes partielles. - Formules
de Monge. - Formules de Legendre ne contenant aucun signe d'int6gration. -
Double syst~me de formules doonn par M. Weierstrass. -D~teraiination de
toutes les surfaces minima alg6briques et rdelles. -- Relation entre la th~oric
moderne des fonctions et celle des surfaces minima.
184. Conside'rons une surface quelconque, on plut6'L une porLion continue de surface (1) limite'e par un contour, et proposonslions de trouver la variation de 1'aire quand on passe "a une surface
infiniment voisine. Soient x, y, z les coordonne'es d'un point
de (s); c, c', c" les cosinus directeurs de la normale en cc point.
Nous prendrons pour coordonne'es curvilignes it et v les parame'tres
des lignes de courbure de la surface. Alors, si 1Pon de'signe par R,
R' les deux rayons de courbure an point consid~re', les formules
d'Olinde Rodrigues nous donneront
ax de dy de' ~~~~dz Oc"
-d ~R..=o, a- -i — R. —
ax d de dc' de' d z dec
-- - 4- - - = 0,
do t d Oat do
(2) ~~~~ox ox ay ay Oz Oz_
OttT. ~u t'-, Tittc-v -0.
Nous poscrons, pour abre'ger,
d 2 ) C2 OCI2
_II -
au du ~~\,it/