Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

RESUMEI HISTORIQIJE.27

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par une courbe queleOnque et adinettant en eltaque point cle
cetteC ourbe an, plan tangent donne. Nous comple'terons d'ailleurs, dans notre exposition, ces indications rapides.
La nithode de M. 0. -Bonnet est, directe et inde'pendante de
]'integrale de Monge. Dans un travail ()publie' par extraits da~ns
los CompteS renldus en i855, M. Catalan a fail connaitre diff6 -rentes transformations de cette integrale et de e'~quation aux de'rivees partielles, cjui l'ont conduit, en particulier, I un syst e d
formules entie~rement de'barrasse'es d'imaginaires. 11 a aussi nd icjue
les moyens d'obtenir un nombre illimnite' de surfaces alge'briques.
182. Dans ces derniers tenmps, li. Lie a appe~le'Fattention des
g 'mLres sur des recherches qui, rnalgre' lin[LrrAt qu'elles pre'
sentent, taient resuLes ignore'es. En i844, E.-G Bjringpo
fesseur 'a l'Universite' d'Upsal, a inse're dans les Archives de
G runert (t. IV, p. 290)o Lin AMemoire de vingt-cinq pages intI-itle'
In integrationein ceq uationiS derioataruin partialitln super/iciei cujus in pune?,to unoquoque principales. ambo radii cur7 -vedinis cequales sunt Sig-noque con trario. Ce -travail me'rite une
analyse detaillee. L'auteury reprend d'abord la nethod e de
Legendre; mais., en choisissant des variables nouvelles, il est conduit 'a leiquation
qui est plus simple que celle de Legendre et, qu'il inte'gre par l'application relgulie're de la m'Lthode de Laplace. Il obtient ensuite
des expressions tre's simples des coordtonne'es x, y, z en fonctioD
des deux. variables oc et ~3, et de deux fonctions arbitraires. Puis ii1
indique comment on determine ces fonctions arbitraires de telle
maniere quo la surface passe par une courbe donne'e et y admette
en chaque point un plan tangent, donne'. La solution de ce dernier
proble'me, que Bjdrling a en le me'rite de poser et, de re'soudre le

(' ) Une r6claction d6velopp6e des reclherches de M. Catalan a par-L en i858 dans,
le XXXVJPI Cahier du Journal de 1'tcole Polytechnique sous le titre suivant
AJieznoire sur les sIurfaces donst leS rayos cle cour~bure enl chaque poinit soo~t
e'gautx et de signies coatraires.