Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DU DE'PLACEAIIINT A UN PARAMETRE. -
II1. Les re'sultats obtenus par M. Bertrand donnent imnnn'diateiiient la solution d'un proble~me dont on s'est beaticou p occupe'
Deterininer touales les surfaces gauches dont les rayons deC0I coubure sont., en chaque point, e'g;aux et de sig~nes contraires.
En effet, les surfaces gauches clierche'es devront avoir, en chaque
point, pour indicatrice une hyvperbole e'quilae're et, par cons'Cquent, leurs lignes aSyTMPtotiques curvilignes doivent couper les
ge'Deratrices rectiligne s 't angle droit. Le plan osculateur d'une
hg-ne asymptotique e'tant le plan tangent de la surface, on voit cjne
les ge'neratrices rectilignes doivNent e'Lre les normales principales
de toutes les asymptotiques. D'apre's le r'stiltat pr'ce'demment
dermontre, ces aSyrnptotiques ne peuvent kLre que des helices et
la surface r-egle'e un hedicoide 't plan directeur. On a vu d'ailieurs
(no 9) que cetie surface jouit Lien de la proprie't6 e'nonce'e. Ainsi
l'hilicoi'de gauche a' plan directeur est la seule surface rgle'R-Ie
clont les rayons de courbutre soient, en chaque point, egaux
et cle sig~nes con traires.
12. Nous terminerons ce sujet en donnant la determnination
des de'veloppe'es d'une courbe gauche.
Conside'rons le trie'dre (T) relatif 'a tin point M. La de'veloppe'c
devra U~re eng'endre'e par un point N du plan des yz e ce point
devra ktre choisi de telle manie're que la tangente 'a la courbe qu'iI
de'crit vienne, ia chacjne instant, passer en M.
Appelonsy et z ses coordonne'es. Les composantes de sa vitesse
sontL
mn~me Volume (p. ii8), et oft se trouvent les premi~res rechercebe de Monge
suir l'6quation aux d~rivdes partielles des surfaces minima. Monge fait voir, dans
te Sttpplze'inet, que si une courbe a un rayon de courbure constant, le lieu des
centres de courbure jonira de la m~me propri6t6 et aura ses centres de courbure
sur la courbe primitive. De plus, les plans osculateurs des deux courbes aux
points correspondants seront rectangulaires. Mais le proc~d6 que Mlonge fait con -
naitre, pour la determination de l'dquation en termes finis des courbes dont la
courbure est constante, est 6videmment inexact. Les 6quations finies que dlonne
l'illustre g~om~tr-e contiennent, en effet, deux. fonctions arbitraires qfie Mlonge
regarde comm e inddpendantes, bien qu'il ait cl6montr6, quclques pages auparavant,
lu'elles sont li~es lone h lautre plai tine 6quation diff~rentielle.
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