Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

RESUME' HISTORIQTJE. 277
la seule surface minima re'elle engendre'e par le nmouvement d'une
lig-ne droite est l'hdlicoide "a plan directeur. On peut la rattacher
d'ailleurs "a une proposition plus generale obtenue ulte'rieurement
par MM. Beltrami et Dini (I ) et d'apre's laquelle les seules surfaces re'gle'es pour lesquelles il existe une relation entre les deux
rayons de 6ourbure sont des he'icoides.
181. Nons laisserons de C~t6 diff6rentes recherches que notis
aurons l'occasion de signaler an cours de cette etude ei; nous
passerons imme'diatement "a une courte Note de M. 0. Bonnet
inse'ree en i853 dans les Comptes rendus (2) et qui contient des
resultats de la plus haute importance pour la the'orie des surfaces
minima. L'e6minent ge'ometre y indique uin sysLe~me nouveau de
formules relatives 'a la the'orie generale des surfaces. On pent caracte'riser ta. me'thode de M. 0. Bonnet et en me'me temps rendre
compte des avantages qu'elle pre'sente, en remarquant que les
variables employees pour la representation analytique de la surface constituent un syste~me de coordonne'es tangentielles. Or les
de'veloppements donne's dans le Livre:precedent nous montrent
que, Si les coordonne'es tangentielles jouent le me'me role que les
coordonnmies ponctuelles dans la tlheorie des syste~mes conjugues
ci des lignes asymptotiques, elles donnent naissance 'a des calculs
et" des propositions plus simples dans le'tude des question
relatives aux lignes de courbure. Les variables choisies par
Mi. Bonnet sont les suivantes E tant donne's une surface (1) et tin
point M de cette surface, le plan tangent est determine' par sa representation sphe'rique in Sur la sphe~re de rayon i et par sa distance au centre de cette sphe~re; quant aui point m de la sphe're,
il est determine' par sa. longitude cp et sa colatitude 0. Le'&quation
du plan tangent s 'ecrit alors
(i3) X sinO coso — i- YsinO sinep-+-~Z cosO0+~z
()BELTRAMII, Risolutzione di un problenia relativo alla teo,'ia delle super/icie gobbe (Annales cde Tortolini4 t. VII, p. io5; i865).
DINI (U.), Sidle supei:ficie gobbe nelle quali uno dei due 7raggi di curvatura principale ~ una fun zione dell' altro (m6me Volume, P. 205).
(2 )0. BoNNET, Note suac la theborie geWne'ale des sw/:aces (CompteS r-endus,
t. XXXVII, P. 329; a83