Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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268 ~~~LIVRE III. - CHAP. 1.

Li trouve ainsi que la surface minima passant par un contour
d~one' doit satisfaire "a l'6quation
ox I +dp2~ q2) ( PIj2 qi)
c~Le proble'me se re'duit done, dit-il, Ia chercher p ci q par ces
conditions que
p dx -v-qdy et p dy - qdx
VI i-+-PI -I- q2
soient des diffdrcntielles exactes.
Ii est d'abord clair qu'on satisfera "a ces conditions, en faisant
p et q constantes, cc qui donnera un plan quelconque pour'la surface clbcrcbice; mais cc ne sera ]a qu'un cas particulier, car la
solution g~ne'rale doit e~tre telle quc le pe'rimn~tre de la surface
puse etre choisi. "a volonte'.
Lagrange se contente, des rcmarques precedentcs; car ic but
unique de son admirable Me'moire htait la formation des equations
diff~rcnhiclles auxquclles doivent satisfaire les courbes et ics surfaces qui donncnt la solution des problehmes pose's; et il termnine
l'Appendice consacre aux integralcs doublcs en donnant e'~quation
aux de'rive'es partielles de la surface dont l'airc est minimum parmi.
cellcs cqui circonscrivcnL dcs solides e'gaux.
La the'orie si simple'et si f~condc quc Lagrange avait substitu~ee
au mthodcs d'Euler ne fut pas imnme'diatement acceptte~ par tons
]cs ge'ome'trcs. En i 767, Borda fit imprimer, dans les ilimoires de
1'Acad~nmie des Sciences, un travail intitule Ekcaicircissemzent
SUr- les 7netlhodes de troucer- les COUrbes qui jouissent de quelque
pro prie'te~ de maximumn ou de minimum, et ii crut faire une
4zeuvre uti'lc en d'montrant par une voic nouvelle, et sans rien lui
ajouter, le re'sultat de Lagrange.
176. C'cst dans un beau Me'moire de Meusnier (') qu'cst cornmcncee, et de la manie~re la plus heureuse, 1'e'tude de e'~quation

(') Meimoire sur la courbure des surfaces par M. MEUSNIER, Lieutenant en
premier, surnum6raire an corps royal du Genie, Correspondant de l'Aead~mie, Iu
leS 14~ et 21 f~vrier i7-6 (Me'moires des Sa'anlts eitrangers, t. X, p. 477; i785).