Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DIVERSES.26

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d'oiii Fon de'duit, par un calcul facile,
dp' du' -dq' dP3%zz (dp di -dq df).
pq
Cette equation e'tablit de nouveau que l'inversion conserve les
lignes de courbure.
Li importe d'e'tablir nettement cc qui distingue, au point de vue
geomArique, les formules (i 3) et ('4). Quand on 'change t et
I'equation du plan tangent ne change pas et, par consequent, on a
touj ours la me'me surface; mais le sens positif de chaque normale
est e'videmment change' Cela re'sulte des expressions
des cosinus directeurs de la normale. Par consequent, les formules
(1 3) 01L1 (14), qui se d'd~uisent l'une de l'autre par 1'e6change dea
et de ~3, font bien correspondre "a une surface (1) la me'me surface
(s'); mais "a un sens determine' d'une normale "a la surface (E)
correspondront des sens opposes de la normale "a la surface (s')
suivant qu'ou adoptera la formule (i3) ou (14). Pour caracte'riser
aupoint de vue geome'trique chacune de ces formules, il suffira
done de donner la relation entre les sens positifs des deux norma~les, qui correspond par exemple "a la formule (i3). Pour cela
conside'rons deuax surfaces homologues (s), (s'), et deux points
correspondants M, M', sur ces -deux surfaces. A un point de (11)
deicrivant une courbe infiniment petite autour de M dans un sens
determine' correspondra un point de (s') tournant e'galement dans
un sens determine' autour de M'; attribuons aux deux normales un
sens tel que les deux courbes paraissent &'re parcourues en sens
contraire auitour de leurs normales respectives; on aura ainsi la
correspondance entre le sens des normales, de'finie par la formule
(i 3) et par celles que nous en avons de'duites.
Pour le deinontrer, ii suffit de conside'rer la sphe're (S) de
rayonDR ayant pour centre l'origine des coordonne'es et dont Fe'&
quation est
Les formules (I 7) nous donnent pour la sphe~re correspondante
k2 P)