Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

264 LIVRE II. - CHAP. VIII.
Ces formules se rame'nent l'une 'a l'autre quand on e'change or et
et cet e'change ne modifie en rien e'~quation d'un plan dans le
syste'me (oc, f3, ~); nous pourrons donc nrous borner 'a conside'rer une seule des deux. equations. Nous choisirons la formule (i 3).
Q uand le plan de'fini par I equation (i12) enveloppe une surface
est uine fonction donne'e de oc et de f3, et la sphe're dedfinie par
I'equation (i 3) en &l, ~3,~enveloppe la surface (Y,) correspondante
a& (s). Pour avoir le point ou pluto't le plan de contact de cette
sphlere avec son enveloppe, il faut appliquer les principes ge'neraux
de la the'orie des en-veloppes et joindre 'a 1e'cuation (i3) ses deux
d 'riv t'o es par rapport a a e J, E e'tanL conside'ree comme une
fonction de a et de f3. En appelant p et q les de'rive'es prernieres
de ~,on trouve ainsi le sysLe~me
I k__3
qui determine oc', ~' ' en fonction de cx et def3
Si l'on diff6rentie maintenant la premiere equation (i 5) en
tenant compte des deux autres, on trouve
On aura done, en de'signant par p', qT les de~rive'es de ~'par
rapport a cir.~',
(i6)
Les forniules (i 5), (i 6) dedinissent toutes les relations entre les
e'le'nents correspondants des deuix surfaces. Elles fournissent le
tableau suivant
k2 ~ k2 ~
k2 ~
p p qI q)