Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DIVERSES.

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des deux nappes (S), (V'); elles correspondront, en effet, aux lignes
de courbure de la surface (S') qui sera ici du second degre.
174.' Nous allons maintenant chercher ce que deviennent les
formules relatives a la transformation par rayons vecteurs reciproques, quand on emploie le systeme de coordonnees (o, 3, [).
Soient
X Y Z 2
x y x 2 T-y -- z2
les formules de la transformation. Au plan
(12) aX - vY + wZ +-p = o
correspondra la sphere
tx -+- vy -x- w z - 2 (-X2-y2- Z2) = o.
Cherchons l'equation tangentielle de cette sphere, c'est-a-dire
la condition pour que le plan
u'x + v'y -- w' - p'- = o
lui soit tangent; l'application des methodes elementaires nous
conduit a ]'equation cherchee
k2 t- u ' t - v ' - W /it 2 -t — 2 '2 V t2 — vt2- + W' 2 - o.
Introduisons les coordonnees i, a, ' a la place'de u, v, w, p et
I/, ' ' a la place de it', e', w', p'. L'quation precedente prendra
la forme
2=~'
-. -i+ 2 a3 -T, 2 -( + 9 )(+ _-4 P') a- ) (' -- PI) = o.
En prenant successivement le signe + et le signe -, nous
aurons les deux equations
(13) =-/-(a - )( - j'),
(r4) ' -=- '( — X')( - 1),

qui realisent, en quelque sorte, le dedoublement de linversion.