Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

2,62 LIVRE Li. - CHAP. V111.
centre P de la sphe~re qui enveloppe 'a la fois (X) ci (s') on abaisse
ueperpendiculaire PR3 sur le plan (H), elle coupe le cercle en -i
point Q qui de'crit une surface normale an cercie, comme ii est
aise' de le dermontrer. En effet, la tangente en Q etla ligne MM'
coupant l'axe SS' en un Menle point 11, on a, en vertu d'une proposition de Ge'onmtrie e'lementaire,
QC-S- MCS M1C S
tang2 — tang~ tang
2 2 2
ou, en tenant compte de la formule donnee plus haut,
tang QS k tan gM
le rapport anharmonique des points Q, M, S, S' eitant constant
en vertu de cette 6quation, la surface deicriie par le point Q est
bien normale au cercie ei clle correspond "a (E) avec, conservation des lignes, de co-urbure. On a d'ailleurs
-2 -2 -2
MP = MQ xMQ% =PR - RQ
ou, en remnarquani que MP, PR sont lie's par le'quation (i i),
RQ = PR Vi - k2;
on obtiendra done la surface lieu du point Q, en re'duisani dans lc
rapport de ~/ - les ordonne'es perpendiculaires au plan (H)
de la surface lieu du point P. De lat le the'ore~me suivant
Si lVon considdre toutes les spheres (U) dont les centres de6 -crivent ane sur7face (S) et qui coupent an plan (II) sous tin.
angle constant, de cosinus egal at -, cu'es env'eloppent une surface 'a cleux nappes (s), (s') dont les lignes de courbure cor-responzdent point par point 'a celles de la sarface (S') obtenue en
re'duisant, dans le rapport de a/ 2&i les or-donne'es de
(S)perpendiculaires auplan (H).
Si, par exemple, la surface (5) esi du second degre', ce iheioreme
perFmettra de determiner imme'diatement les lignes, de courbure