Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DIVERSES. 26i
centre avec CM pour rayon passera par le point M' et coupera
normalement les surfaces (s), (s,') en M ei en M'. Ainsi, si l'on
construit tous les cercies normaux 'a la fois a' (1) et au plan
(II), la surface (s') coupera tous ces cercies a' angle droit.
D'ailleurs, coinme les deux plans tangents CM, CM' se correspondent dans la transformation, on pourra leur appliquer la formule (io) etablie pour deux sphe~res correspondantes quelconques
ci, si l'on de'signe 'par V, V' les angles de ces deux plans avee le
plan (H1), on aura
V V' i-k
tang tang - = -v-k
Si l'on tient compte du sens des nornmales aux deux plans, on
aura
V = MCS, V'M' CS~i
et, par consequent,
M'C S k-i MICS
tang 2an 2
Cette equation qui de'finit le point Mquand on connait le
point M, exprime que le rapport anharnmonique forme' Stir le
cerele par les quatre points M', M, 5, 5' est constant et e'gal 'a
k ~.On obtient done le the'ore~ime suivant, qui est dci 'a M. Ribaucour et qui est compris comme cas particuilier dans une proposition generale Sur laquelle nous aurons "arevenir
Etant donn~e une surface (s), on construit tous les cereles
normaux & afi a sraet&unpan fixe (171). Ces
cercles sont normaux a' itne famzille de surfaces (s') qui son1t
de'finies de la manie~re suivan-te Pour chacune d'elles, le
rapport anharmonique du point o&" elie coupe chaque cerele
normal a' (1) et des trois autres points o&l cc melme cercle est
coupe par (E) et par (H1) est un nombre constant. Les surfaces
(X') sont celles qui d~rivent de (1) dans les dijff~rentes trans/ormations par directions reCiproques qui admettent le mme'e
plan (H1).

On pent signaler encore d'autres relations ge'ometriques. Si, du