Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DUJ DEPLACEMENT A UN PAIRAMETRIE.

i 5

bures prend la forme
E= const.,
eL a devient infini. Ainsi la seconde courbe, lieu de M', est rejet~ee
Ai l'infini. La courbe propose'e esi alors une he'lice.
Si l'on a A - o c'Iest-ah-dire si la courbe a une torsion constante,
a est nul et les deux courbes, lieux de MJ et de M', se confondentL.
On peut avoir plus de deux courbes ayant les Memes normales
principales:io si la valeur de a est inde'Lermnine'e, c'esL-At-dire 51
i'on a A - C - o; dans ce cas, la courbe sera plane; 20 s'ii y a
plus d'une relation line'aire entre les courbures, c est-A-dire sitles
deux courbures sont constantes; dans ce cas, 1l'~quahion (i8) sera
saiisfaite pour Loute valeur de a el fera connaltre &w; il y aura done
une infiniLe' de courbes ayant les Mn emes normales principales. La
courbe primnitive et, par consequent, toutes les autres seront des
helices tracees sur des cylindres circulaires droits; la surface
forme'e par les normales principales sera Fle'hlicoide gauche 'a plan
direcLeur.
10. Revenons an cas general el clierchons les deuix courbures
de la courlbe lieu de WI. Le trie'dre (T') relaiif 'a cete courbe est
invariablernen li('1 an trie'dre (T). II suffira done, pour avoir les
composantes p', r' relatives aui trie~dre (T'), de projeler les rotaLions p, r- sup les axes de (T'). Cela donne
p'= pecos w -i-r7sintt)
-' p sin w -1- r eos w.
Or on a, d'apre's les formuiles (i 6), en de'siotanu par- les
deux courbures de la courbe lieu de (NI').,
P~~~~~~~
Les relations precedences nous donnent done, par la substitution des expressions de p, q, p7 q,
(~~~~~~~) ~~~~~~P
h sin~ e os w
P