Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DIVERSES.27
'172. La dernie're proposition que nouLs venons d'enoncer permet de donner une definition g~ome'trique slimple de la transforrnation plus ge'nerale que l'on obtient si l'on sournet une figure
et sa transforme'e 'a une meme inversion. A toutes les sphe~res qii
coupaient le plan (II) sous un angle constant, l'inversion faiL en
effet correspondre des sphe~res- on des plans coupaD t une sphe're
fixe (S) sons un angle e'gal et constant. Ainsi:
Si V07on Costr-uit toutes les sphe~res tang~entes a an7e surface
(z)et coapant ane sphe're fixe (5) soas an angl'e conStant,
elies envelopperont, en Meme temnps que (A), un7-e surfce (A!)
qui correspondra a" (A) avec conser'ation des lignes de couwbare.
Si la sph "re (S) se re'duiL "a un plan (11), on retrouve la transformation par directions re'ciproques.
Il ne sera pas inutile de de'montrer la proposition precedente
d'une manie~re tout 'a fait e'lementaire. Nous examinerons en premier lieu le cas of l' angle constant est droit.
Conside'rons toutes les sphe~res (U), qui ont leur centre sur une
surface (1) et qui coupent "a angle droit une sphe~re (5) de rayon
RN. Le centre 0 de (5) ayant.la puissance constante ft2 par rapport
a~ toutes les sphe~res (U), les axes radicaux de trois sphe~res quelconques (U), et par suite la corde de contact de chaque sphe~re
avec son enveloppe, viendront passer par le point 0. De la re'sulte
la construction suiivante de l'enveloppe
Les deax points de contact de la sphe~re (U) de centre M avec
son enveloppe se troucent a' lintersection cdc cette sphe're et de
la perpendiculaire abaisse'e du centre 0 de (5) sat le plan,
tangent en M a' la surface lieu c/es centres (s).
Soient V., V.' ces deux points place's syme"Lriquement par rapport
auplan tangent de (s). On aura e'videmmenL
O ~. Op R2,.R de'signant le rayon de (S), et, par consequent, les deux nappes
de l'enveloppe seront inverses l'une de l'auire par rapport an
point 0.

D. - 1.

I -7,