Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DIVERSES. 255
11 suit de la qu'a une sphere (S) de la premiere figure, representee par l'equation ponctuelle
X2 - Y2 + Z2- X- 2y Y-2Z Z-+ x2+ y z2 2 - R2 = 0,
correspond une sphere (S') de la seconde, ayant pour equation
X2 + Y2 — + Z2 — ~ X. y Y-2 [- ( 9-I — 2 k R R2-=o
6 [Yz(*4-IAZ'1-92k — 2[(I+) ~/2R1 Z -- x2y2 -+-z- R2 o.
On voit que les deux spheres (S) et (S') coupent le plan des
xy, c'est-a-dire le plan (I) de la transformation, suivant un meme
cercle.
Appelons V, V les angles, definis par les formules
cosV = cosV' = -
que font les deux spheres avec le plan (I). Les formules (9) nous
donnent entre ces angles la relation
-- cosV' I k2 j - cSV
I- cosV V I-k i -- cos V
que l'on peut ramener a la forme simple
V V' ik
(Io) tang- tang -= -
Supposons que l'un des deux angles soit constant, il en sera de
mmee de l'autre; de la resulLe un moyen nouveau de determiner
la surface (S') correspondante a une surface (E): On constrauira
les sphe7res (S) tanzgentes ca (E) et coupant le plan (H) sous ant/
angle constant c. Par l'inter'section de chaque sphere (S) et
du plan (H) on. Jera passer unZe sphere (S') coupant (H) sous
un angle donne' [. L'enveloppe des sphheres (S') donnera la
surface (X') corr7espondanCte aC (S).
Une sphere de rayon nul doit etre consideree comme coupant
un plan ou une sphere quelconque sous un angle infini. La construction precedente contient done la suivante comme cas particulier:

On construira les spheres (S) tangentes a ()) et coupant le