Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DIVERSES. 253
1'inversion; M. L-aguerre, qui l'a e'tudie'e d'une manie're detailIee,
lui a donne', pour cette raison, le nom. de transformation par~
directions r-cipr-oques (') cjue nous adopterons dans la suite.
Mais la construction precedente donne lieu a une autre remarque
essentielle; la transformation n'est pas unicoque et cule fait, en
general, correspondre 'a tine surface (1) deux surfaces (Yf), ou
pluto't deux nappes diff6rentes d'une M eie surface. En effet, Si
1'on considere une region de la surface (1) pour laquelle le Sens
de la normale Soit parfaitement de'fini, chactue point de cette
region aura une representation sphe'rique, coinpkteiueent de'terminee par le Seus de la norm ale; et la construction indiqu~ee
plus haut fera conualtre, sans ambigu~e', le plan tangent de la
surface correspondante; m-ais ceLte constructLion donnera e6videmment des elements diffhrents si Von change le Sens de la normale en tons les points de (sGCest ce cjue dinontrent, du. reste,
les formnules suivantes, equivalentes aux relations (5).
Soient
itx -1 — (Y I p -
a ' x,,y T,,z-,
les equations de deux plans correspondants; de'signons, pour
abre'ger, par h et par It' les radicaux
I V2 (~V 2, ~4 ~,/t'2 -v '2 ~.(,'2.
Si noues posons
a'~i-&f3', r'ti10-~3) vvP'J-f h'z ',
les forinules (5) nous donneront
V' V-z I -* --- k W
p, P
La presence du radical Ih iontre bien qu'a' un plan donne'

(') LAGUERRE, SUi' la trcta~fo7r7ation par directions reciproques ( Coinptcs
rendus, t. XCII, P. ''; i881).