Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

252 LIVRE Ii. - CHAP. ViII.
Associons au plan (P) de la premie~re figure le point m dont les
coordonne'es sont, les. cosinus directeurs de la normale an plan
C xj, i -
Ce point se trouve sur la sphe're de rayon iet, si le plan (P) enveloppe une surface (s), il est, la representation sphe'rique du
point de contact de (P) et de (Y2).
Associons de M eme au plan (P') le point in' dont les coordonne'es
son!.
et dont, la relation it (P) est la Meme que celle de m it (P). Les
formules ( 5) exprimentL, on le ve'rifie sans difficulte', que les points
in,1 in sont, en ligne droite avec un point fixe situe' it la distance k
sur I'axe des z. De It" re'sulte la definition ge'ome'triquie complte'L
de la -transformation.
Soient (s), (s') deax sur-faces corr-espondantes. Les plans
tangents aux points corrlespondantS se coupent dans an plant
fixe (H). Les images spheiriques des points cor-respondanis sur
la sphe'~re de rcgon i, placee d'une inantii're quelconque dans
l'espace, sont inveerses Pl'ne cle l'autr~e par- rappor-t a' an potin t
fixe A, sitile sur le dian~terle de la sphe'lre qui est pe7-pendicutlair-e auplan (H).
Cette proposition permet, evidemminen de construire les plans
tangents de (Y,') quand on connait ceiix de (s). En ce qui concern e
les points de contact, nous ajouterons la remarque suivante que
l'on *pourra verifier, mais qui re'sultera aussi. des propositions
etablies plus loin
La droite quijoint les deux points de contact corr-espondants
est paralble a' celle quti relie les images sphie'liques cle ces
detux points.
Les relations que nous venous d'indiquer entre les elements
correspondants son! 6-viderniment, re' ciproqnes ei, par consequent, la
transformation est, inv'olative. Cette proprie'te' la rapproche de