Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

.250 LIVRE II. - CHAP. VIII.
Nous avons de'ja signale' (nO 15i7) cette belle proposition due 'a
M. Lie; nous notis contenterons de remuarquer ici que dans 1i'dqualion (3o) [p. ijo] des lignes asymptotiques, a et ~ de'signent
des quantite's r~e'eles pour tout point reel de la surface, Landis que,
dans celle des lignes de courbure, a et ~ souL des -variables comnplexes, me'rne pour un point reliel; par consequent la correspondance de'finie par la proposition precedente ne saurait existLer.entre les elemnents re'els de deux. surfaces re'elles.
169. En-visageons maintenant 1'e6quation diff~rentielle des lignes
-de courbure
0) c/~~~p (di - dq j 7l ' J12- t cdf32 - 0;
cefe posse~de de nombreuses proprie'tes qui donneni toutes naissace? des Lb 'or'rnes de G' or'~re
D'abord elle ne change pas de forme si l'on re~mplace ~ par la
n ouvelle variable
\. BC, Dd'sig-nant des constantes quelconcques.
Proposons-nous de definir ge'ome'LriquemnenL cette tIransforin a-L Lion.
On pent e'videmmrentL l'obtenir par la compositLion des deux
sulivantes
3 ~ C-~ a- C3 4- D,
La premniere C'quivaut, on le reconnaitL ais~renti-, a une tranSlation de l'origine des coordonne'es T a seconde remplace la surface
par une surface paralkiel mene'e 'a la distance A de la premniere.
-On sait en effet que, sur deux surfaces para~lle1es, les lignes de
courbure se correspondent. Ainsi. la premiere proprie'te qui se
presente 'a nous de e'6quation diff~rentIeile des lignes de co-urbure
ces formules des relations,qui contiennent seulement les coordonn~es des points correspondants.