Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LIVIRE II. - CHAP. VIII. - APPLICATIONS DIVERSES. 249

CHAPITRE VIII.
APPLICA\TIOiNS DIVERtSES.
Applications des formules relatives aux lignes de courbure donnies dans le Chapitre pr~c~dent. - Transformation de MA. Lie dans laquelle les lignes de courlbure d'une surface correspondent aux lignes asymptotiques de la transform~e.
- Transformation par directions r6ciproques. - Relations entre les 6l6mnents
correspondants clans cette transformation. - De Finversion. dans le syst~me
de coordonnc~es (, ~3, )
108. Nous aurons 't faire diffirentes applications des syst~enes
de formules de'veloppe's dans le Chapitre preceden1. De's "a present,
nous allons e'Ludier les suivantes, et, comme il s'agit. de recherches
generates, nous emploicrons de preference le premier sysLetme de
formules e'tudie' dans les nos 104 eL 166.
Remarcjuons d'abord que e'~quaLion diff~rentielle (2-6) [P. 245]
des lignes de courbure est identique 'a l' quation diff~rentielle des
lignes asymnptoticques donnete auno 1,O De lat ce premier re'sultat:
A toute surface dont on connag~t les lignes asymptotiques on
peut ficre cor-respondre une sur-face doiit on saura-c chterinine7r
les lignes de courbure et vice versa (I ).
(1') Le rapprochement des formules donn6es aux nos 110 et 164 nous conduiit an r6 -sultat suivant:D~signons par x, y, z les coordonn6es d'un. point de la surface
dont on connait les lignes asymptotiqucs, et par p et q les d~riv~es de.z consid~r~es comme fonction. de x et de y; soient X, Y, Z, P, Q les quantit6s analogues
relatives b la surface transform~e dont les lignes de courbure correspondent aux
lignes asymptotiques dle la premi6re. On aura
pxq -_ q_
x i y P -+ Y q -+sq
q - xx.1+ qx
La th6orie des transformations de contact permet cl'ailleurs de d6cluire toutes