Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - CHAP. VII.

et nous prendrons pour l'quation du plan tangent
(3o) (4 — P,)x - i(3 - )y -H (I -4- ) = o;
sera maintenant une variable reelle et a, 53 des variables imaginaires conjuguees toutes les fois que la surface sera reelle, et qu'il
s'agira de plans tangents reels.
Les coordonnees du point de contact du plan tangent auront
maintenant pour expressions
-- T +_ '
^ i _(Y-p -q ) q
L'iquation differentielle des lignes de courbure sera
(32) cdp d. - dq d = r dr - t d2- = o,
comme dans le cas precedent.
Et enfin les formules faisant connaltre le centre et le rayon de
courbure deviendront
2 R = a - qi - + (I + X0>) (S + \rt)'
Z = R -px - q P - (I - a;)(s + /7t),
(33) 2Z
X- iY -p 4 (s 4- rt),
X -+- iY =-q -+ (s 4- V/rt).
Sous cette forme on reconnait imdediatement qu'elles fourniront pour X, Y, Z, R des expressions essentiellement reelles.
On passera d'ailleurs du premier systeme de formules au second
en faisant la substitution tres simple
(34) =- 4 -Enfin on obtiendra egalement sans difficulte l'equation differentielle des lignes asymptotiques, qui estici
(35) (I + - ap)( da2 +- d 2 s' d + t dP2) + id d(d -p a - q P) = o,