Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

COORDONNEES TANGENTIELLES.23

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donne'es tangentielles qui a e'e' avec plusieurs autres syste~mes,
tre's dignes d'inte're', employe' par MI. 0. Bonnet, dans le beau
JJ~mo ir-e sur- l'erploi d'un nouveaut syste'me de variables dans
il'tude 'des 70propietes des surifaces cour-bes (Jour7nal de Lioueille, 12 se'rie, t. V, p. i53-2-66; i86o). Voici comment on est
conduit 'a eboisir les variables conside'rees par le'minenL g'ome"tre.
Lorsqu'on e'tudie la representation sphe'rique, ii est naturel de
rechercher la definition ge'ome'trique des courbes de la surface qui
admettent pour representation sphe'rique les diffhrentes generatices rectilignes de la sphe're. Soit d l'une de ces g'n'ratrice
coupant le cercle de linfini en un point pt. La courbe qui lui
correspond sur la surface sera 6videmment le lieu des points de
contact des plans tangents paralleiles 'a d; en d'autres termes, ce
sera la courbe de contact du Cone de somnmet u. circonscrit 'a la
surface.
Ces courbes de contact des c6nes circonscrits dont le sommet se
trouve sur le cercle de l'infini jouissent, relativement aux lignes
de courbure, d'une proprie'te importante que nous allons signaler.
D'abord il en passe deux par chaque point MI de la surface; car
soient A et B les points ou' le plan tangent en MI coupe le cercle
de l'infini:les cones circonscrits de sommets. et B3 Loucberont
la surface suivant deux courbes passant en MI. Les deux tangentes 'a ces couirbes de contact auront pour conjuguees les ge'neratrices de ces deux cones, c est-h-dire les deux droites de
longueur nulle dii plan tangent, MA, MB. Or ces deux droites MA,
MB sont place'es sYrnitriquenment par rapport 'a deux tangentes
perpendiculaires quelconques et, en particulier, par rapport aux
directions des lignes de courbiire. 11 en sera done de M eme de
leurs conjugiue'es qui sont les tangentes auix deux courbes de
contact. De la le theiorerme suivant
Les cour-bes de contact des Cdn7es cir-conscr-its ayant leur-s
soin1mets sur, le cerecle de l'infitni del7terinent sur- la surface un
syste'me de coor-donnees curv ilignes admettant pour~ imag-e
spherique le syste'me des gteneratrices rectilignes de la sphb;'e.
Les tangentes aux deux cour-bes Coor-donnees qui passent en Un
point quelconque de la surface admettent pour- bissectr~ices
les directions des lignes de courburie.