Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

COORDONNEES TANGENTIELLES. 241
en connatt quatre solutions particulieres tu, v, w, h, liees par
la re lation
(20) T4 T 2 w2 = h2,
la surface enceloppe du plan
tX -- vY -+- w Z — 0 = o,
oh 0 designe une solutio qeco e e tion (elcon e 9), sera
rapportee au systeme de coordonnees curvilig'nes (a., ( ) formze
par ses lignes de courbure.
En effet, l'equation lineaire de la forme (I7), a laquelle satisferont alors les cinq quantites it, v',, p, Ih relatives a cette surface, sera l'equation (I9) et, par consequent,. elt seront les
parametres des lignes de courbure.
Nous avons montre (n~ 98) que, lorsqu'on a obtenu sur une
surface un systeme conjugue quelconque, les coordonnees tangentielles it, v, w, p, considerees comme fonctions des parametres
a et (3 des deux families conjuguwees, doivent satisfaire ai une
equation lineaire de la forme (I9). L'equation lineaire relative au
systeme conjugue forme par les lignes de courbure se distingue,
on le voit, de toutes les autres par la propriete d'admettre en
outre la solution
Ih =- 2 C2 (v 2.
162. Les theoremes precedents permettent de former, d'une
maniere tres simple, l'equation aux derivees partielles dont depend
la recherche des surfaces qui admettent pour representation
spherique de leurs lignes de courbure deux familles de courbes
orthogonales choisies arbitrairement sur la sphere de rayon i.
Soient en effet u t, V, w, h les coordonnees homogenes d'un
point de la sphere, qui seront liees par l'equation
tt2- p2 -- (,p2 /12
et que nous supposerons exprimees en fonction des parametres Y.,
des deux familles orthogonales. Un systeme orthogonal trace sur
la sphere etant, par cela meme, un systeme conjugue, ha, t,, I
D.-. 6G