Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

COORDONNEES TANGENTIELLES.

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Un point situe sur la normale a la distance )\ de son pied aura
pour coordonnees
(IO) X - X+ -, Y-y+ -, Z=, —7-,
h designant le radical
(II) h = Vu2 -+ 2 - w2.
Remplacons, dans les equations (9), x, y, z par leurs expressions tirees des formules (Io); les equations ainsi obtenues
uX +- Y ~ wZ + p = p ha,
XOu dc c dw )p /z
(I2) dx (92 dr0 0z dx
(x O p ~ - 0_ Oh
definiront le point considere de la normale. Pour trouver l'equation differentielle des lignes de courbure, nous ecrirons encore
qu'il existe un deplacement pour lequel le point correspondant a
une valeur convenablement choisie de ), decrit une courbe tangente
a la normale, c'est-a-dire pour lequel on a
dX dY dZ
(I3) -= dO
it v w
dO etant introduit pour l'homogeneite.
Si l'on differentie dans cette hypothese les formules ( 12), la premiere donnera
u dX -+ v dY +- w dZ t-+ X du -~- Y dv - Z dw +- dp - ) dh -+ h d),
ou, en tenant compte des deux suivantes et des formules (i3),
(i4) h2 dO = h dc, d) = h dA;
la diff6rentiation des deux dernieres formules ('12) nous conduira alors aux deux equations
u Ov Ow )p Oh
X d- Y d 4- Z d0 - d-=- ) d-,
X p T Y d d Op d
13 TP d~~ dOh