Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

I)U DEP~LCEAIENT A UN PARIAETAIiE. '

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(i6) ~~~~I r I ___
8.La me'thode cine'matique que nous venons d'exposer s'applique d'une manie're e'legante 'a la solution complete du proble~me
suivant, comphle'nent re'solu par M. Bertrand (1 RecherchelS'i existe uine courbe dont les nor males pr-incipales soient aussi
nori-nales puinci/)ales d'117e auttle Cour7be.
Sojent M un point de la courbe donne'e et (T) le triebdre relatif
a ce point. Si l'on porte sur la normale principale une longueur
MM' a, la vitesse du poinL M' aura pour composantes
da
1-7ra, -~, pa,
suivant Mx, Mly, Mz respectivement.; cela re'sulte des formules
(io). Si l'on veutL que la courbe de'crite par le point M' soil normale 'a MM', il faudra que l'on ait
da =0
a devra Utre constant:cc r'sultat e'tait evident a pr~ior-i, et nous
aurions pu le supposer imme'diatement.
Alors la v'itesse v de Ml' est perpendiculaire "a My et, si l'on appelle w l'angle qu'elle fait avec Mx, on a
) p~~~~~~ cos w =i — ra,
(17) v~~~~~ sin w =pa.
La droite MI'M sera alors normale de la courbe de'crite par le
point M'; mais elle ne sera pas en general normale principale.
Cons truisons le trie'dre (T') forme' par la tangen'te M'x' 'a la courbe
de'crite par le point M', par la droi-te M'y et par la perpendi1culaire
commune a ces deux droites, et remarquons que l'axe des y de
(') J. BERTRAND, Mdm7oire sur la the~orie des courbes & double courbure
(Journal de Liouville, re s6rie, t. XV, p. 332). Voir aussi le M1,6moire de Al. Bonnet
in~6dans le XXXIIe' Cahier dlu Journal de l'tcole Polytechnique, ofi Fauteur
d~montre (p. Y34) que, si deux courbes ont les m6rnes normales principales, leurs
plans osculateurs aux points correspondants font un angle constant.