Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

COORDONNEES TANGENTIELLES.

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yyz et qui correspond, nous l'avons vu, a la valeur ) a -p. Le
milieu du segment PM correspond evidemment a une valeur de ),
qui est la demi-somme des valeurs precedentes et, par suite, egale
a. Cette valeur etant constante, le milieu du segment decrira
une surface parallele a la proposee. Ainsi, si l'on considere toutes
les positions de la droite invariable mobile, le milieu duc segment formle par le point o01 cette droite coupe l'uln des plans
coordonnes et par7 le pied de la perpendiculai7e abaissee de!'origine suy' la droite decrit l'une des su1rfaces normales a la
droite dans ses diverses positions (I ).
Proposons-nous maintenant de determiner les lignes de courbure. L'equation (3) prend ici la forme
u dut a dt
v dv b dv = o,
w dw c cldw
et son integrale, que l'on trouvera aisement, est definie par l'equation
It2 (U2 (02
---- - -- =o
ca - b - c -
ot,P designe la constante arbitraire. Ce resultat s'interprete comme
il suit:
La representation spheriqutl.e des deulx faimilles de lignes de
cour0burWe de la sturface est donnee pacr unz systeme d'ellipses
splheriques homofocales (2).
160. Supposons maintenant qu'etant donnee une surface quelconque, on connaisseles expressions des coordonnees tangentielles
en fonction de deux parametres a, 3. Les coordonndes du point de
(') Dans un article ins6er au Bulletinz des Sciences mathematiques (2a s6rie,
t. IX, p. J37; i885), M. Maanaheim a retrouve tous ces rssultats par des considerations de pure G6omdtrie.
(2) Nous ne voulons pas insister sur ceite 6eude particuliere, et nous nous contenterons d'6noncer ici les deux propositions suivantes: