Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - CIIAP. VII.

gent, les valeurs
(5) x = (p-a)ct, y =(p-b)v, =(p-c).v
et, pour celles d'un point de la normale situe a la distance ) du pied
de cette normale,
(6) X = ( ) )u, = (p ), Y - b)v, Z = (p- - c)w.
Les points oi la normale coupe les trois plans coordonnes correspondent aux valeurs
(7) ), = c -p, - = b -p, = c —p,
dontles differences sont constantes. On a done deja cette elegante
proposition:
Lorsque trois points d'une dlroite inlariable dclcrivent trois
plans rectanzgtllaires et que, par consequent, tous les autres
points decrivent des ellipsoides, la dlroite denmeure constammenzt normaz07 le a une facmnille de stlrfaces paralleles repiresentees
par tine eqtatcion de la fornme
(a 1 k) t2 + (b T /)C2 -+- (c -+- k)w
(8) p
or2 k dGsigne la const nzte qui vanie quanzd on passe cl'zune surface ac la surfacce parallele (I).
On peut d'ailleurs obtenir tres aisement une construction par
points de ces surfaces. Cherchons le pied de la perpendiculaire
abaissee de lorigine des coordonnees sur la normale. La valeur )I
correspondante a ce point sera determinee par I'equation
zcX -i- vY -- wZ = o,
qui donne, en appliquant les formules (6),
=p.
Soient P ce point, M le point ou la normale coupe le plan des

(1) G. DARnBOU, Sur une nouvelle definition de la surface des ondes ( Comptes
rendus, t. XCII, p. 446; i88i).