Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

COORDONNEES TANGENTIELLES.

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ou, sous une forme plus symetrique,
Of d / du
6u dui
)f df v dv
(3) = -o0.
- d- w cldw
ow dw
f- d Of o o
dp dp
II importe de remarquer, en vue des applications, que l'Iquation precedente conserve encore sa forme, alors meme que l'equation (i) n'est pas homogene, pourvu clue l'on suppose u, v, w egaux
aux cosinus directeurs de la normale et lies par l'equation
uL2 9 — (V2 =- I.
Pour le demontrer, supposons que l'equation (i) ne soit pas homogene. On peut toujours la rendre homogene et de degre zero,
par exemple en divisant u, v, wv, p par la quantite
h = V/u2 4- ' -+- w2,
qui est egale l'unite. Alors il faudra mettre, a la place de o- of
Of8 dans l'equation ( 3),
f Of u Of f of of of
Iu dh Oh v do Oh h/ dOw 0 h
ce qui equivaut a ajouter aux deux premieres colonnes du determinant (3) les deux dernieres multipliees par des coefficients convenablement choisis, et ne change pas la valeur du determinant.
159. Considerons, par exemple, la surface de quatrieme classe
definie par l'equation
zalt -+- bv2 -- cW2
(4) p = 2
oi u, v, w sont les cosinus directeurs de la normale; p designe
done la distance de l'origine au plan tangent. En rendant, pour un
instant, l'equation homogene et appliquant les formules (2), on
trouvera, pour les coordonnees du point de contact du plan tan