Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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234 ~~~LIVRE II. -~ CHAP. VII.

CHALPITRE YJJ.
LES LIGKNES DE COURtBURtE EN COORDOWNE'ES TANGENTJELLES.
Cas oft la surface est d6finie par son 6quation tangentielle. - Application Ai la
surface de quatri~me classe, normale ~ toutes les positions d'une droite invariable dont trois points d~crivent trois plans rectangulaires. - Cas oii les coordonnees tangentielles sont expriin6es en fonction de deux paramktres. - Prcmni~re solution du probl~rne ayant pour objet la cd~terrnination des surfaces
admettant uine represcntation spbdrique donn6e pour leurs lignes de courbure.
- Ddveloppements sur un syst~me particulier de coordounnes tangentielles employ6 par M. 0. Bonnet dans 1'6tude des surfaces.
158. Not's allons passer maintenant 'a l'examen dti cas dans lequel la surface est de'finie par tine propridt' de ses plans tangents et
nous supposerons d'abord que l'on connaisse 1'e'quation hornogne e
qui relie les coordonne'es du plan tangent
(i) ~~~~~f (it, V, (n', ]3)
Jes axes e'tant rectang utaires. Le point de contact du plan tangent
aura pour coordonne'es
qf df Of
dp dPOp
et les cosinus directetirs de la normale seront proportionnels 'ait
t', (V. Pour obtenir 1leiquation dififireutielle des lignes de courbure, il suffira donc d'appliquer e'6quation (4) du no 138, ce qui
donunera.
Op duL a1dt
Op Onv OV Op
Op dwr Ow O p