Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

2131 2 LIVRE II. -'CHAP~. VI.
ci, sil Fon pose
(66) SI X~y b-2+-z
et, de M eme,
a/ zxi-ry%, b':== RY
q'w x' - y' p'z R'
elle clevient
(x - x')"' +-(y -.),)2 ~(2 - Z2)2- (R - R')2- o.
Si done on considere les formules (66) comime e'tablissantL une
correspondance entre la droite arbitraire represente'e par les
equations (65), et la sphere doDt le rayon serait R Ct dont le
centre aurait pour coordonne'es carte'siennes x, j', z, on voit que
ces formules font correspondre 'a deux droites qui se coupent deux
sphe'res qui se touchent, ci re'ciproquernent.
Cette transformation, qui e'tablit une liaison entre les lignes
droites etles Spheres, c'est-a-dire entre les e'lements les plus essentiels de i'espace, esL une des plus belles de'couvertes de la Ge'ome&trie ruoderne; elle est due "a M. Sophus Lie qui, dans un Me'moire
insere an tome V des 11iathemnalisehe Annalen (',la presentce
avec ses plus imnportantes conse'quences. Au nomibre de ces consequences Si'I fauL. surtout citer la suivantLe
La transformation c/e Al. Lie jait COrrespondre a' /'ensernb/e
des drPoites tan genies a' UJe suriface (S) /'ensemb/e des sphecres
tang~entes a' lune auitre sur~face (S'). A touttes les ciroites tangentes en Itin point M de (5) correspondent touites les spheres
langoentes en tin point M' de (S'). Quand le point MXI dce~rit une
ligne asymptotique de (S), le point M' de'crit uine ligne de
courbut'e de (5'). Par suite, a' toute suirface dont on sait determiner les lignes as~ymptotiquies, on petit faire correspondre
par, la transformation de Mt. Lie uine alltire surface donZt on
connaltra ics lignes de courlbure et vice versa.

(') Sopins LirE, Ueber Complexe, insbesdondee Linienl- und Kutgel- Complexe,
mit Anw'endung auf die Theorie partieller Di/,ferentialgleichungen (Mathematische Anntalen, t. V, p. i245-256; 1871).