Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES COORDONNEES PENTASPHERIQUES..3 t

ou, ce qui est la meme chose,
p -t- pl q - -r- 7'1
7Z111 = -—, 7?3 M O —J- / ' - ---,
(63)
Rp-p Iqi- * qi-/'
77z = - n /?z = Z l 7g = ----
2 2 2
Les formules (62) ou (63), qui conduisent a l'identite
6
ppI + qql 7~r = - 7z|,
font correspondre a toute droite une sphere et vice versa. De plus,
si l'on considere deux spheres, de coordonnees nz/,, nz respectivement, et les deux droites correspondantes, de coordonnees p, q,
r,...; p', qi, ',..., il resulte de l'ideniite precedente et de la
forme lineaire des equations de correspondance l'identite plus generale
{ (P-P')(Pi-P'1) 6
(64 ) -r (q - q')( qq 1 ) - (r, r) (71 - '1) = (in,/- t' )2.
Le second membre de cette formule s'annule quand les deux
spheres sont tangentes et seulement dans ce cas; le premier
membre s'annule quand les deux droites considerees se coupent.
On voit done que la transformation definie par les formules (62)
ou (63) fait correspondre a deux spheres tangentes deux droites
qui se coupent et vice versa.
Au reste, on peut definir cette transformation sans passer par
les coordonnees homogenes qui ont ete 1'objet de nos etudes dans
ce Chapitre; car, si l'on prend les equations d'une droite sous la
forme
(65) x-ct+-p,
-y bz +- q,
la condition pour que deux droites diff6rentes se coupent s'exprime par la relation bien connue

(a — a')(q - q')- (b - b')(p-p') = o;