Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

'A30 LIVRE II. - CHAP. VI.
leur angle dv sera done fourni par la relation
6
(57) do2 = -- 2
Toutes les fois que deux spheres sont tangentes, elles se coupent sous l'angle zero ou ri; mais, dans les theories ofi l'on tient
compte du signe du rayon, il y a avantage a considerer comme
tangentes seulement celles qui se coupent sous l'angle zero. Ainsi
entendue, la condition de contact s'exprime par la relation
6 6
(58) V ( mzl -?/ ) - 2 6 7,Zc lIZ = O.
*1 1
Quand les deux spheres sont infiniment voisines, la distinction
relative au signe du rayon disparalt et la condition de contact dervient
6
(59) d cn. = o.
157. La forme de la condition de contact conduit a un rapprochement capital entre la geometrie des spheres et celle des lignes
droites. Reprenons les equations de la ligne droite, ecrites sous la
forme deja employee au n~ 139
q z - 7'y - 0o,
(6o) rx-pz q,- = o,
py-qx 4-+ 'I= o.
Les six coordonnees homogenes de la ligne droite satisferont,
nous l'avons vu, a l equation identique
(61) ppI -T- qql -l- 7r = o,
et reciproquement (n0 139) six quantitds satisfaisant a cette relation definiront toujours une ligne droite. L'equation (6i) est quadratique, comme la relation (49) entre les six coordonnees de la
sphere, et l'on peut ramener ces relations l'une a l'autre en posant
62 ) p =: l + i7?2,, q 7= 3 -- i7?m, r = 71 +- intG,
P1 i-7 m - im.)6, ql -= 7t3 - i7i, ri -= m7a - itl6,