Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CHAP. I.

rallele a (T), nous savons que, la composante q etant nulle, l'axe
instantane de rotation est toujours dans le plan des xz. Lorsque le
rapport P ou - demeurera constant, cet axe instantane deviendra
fixe par rapport aux axes mobiles. Or on sail que, lorsque l'axe
instantane occupe une position invariable par rapport au systeme
mobile, ii demeure fixe dans l'espace. Le triedre (T.) tournera
done autour d'une droite fixe; son axe des x, qui est parallele a la
tangente de la courbe, fera un angle constant avec cette droite fixe
et engendrera un cone de revolution. On reconnait la propriete
caracteristique de l'helice tracee sur un cylindre quelconque.
Lorsque p et c sont constants, cette helice est tracee sur un
cylindre de revolution. Dans ce cas, en effet, le mouvement du
triedre (T) presente i chaque instant une translation et une rotation invariables. Alors tons les points du systeme mobile, et en
particulier l'origine du triedre, decrivent des helices tracees sur
des cylindres circulaires droits.
7. Dans le mouvement que nous venons d'etudier, trois des
six quantitls i,...,... sont nulles. Nous allons montrer que,
reciproquement, si l'on a
= r = q =o,
l'origine du triedre decrit une courbe qui est tangente i l'axe des
x de ce triedre et admet l'axe des y pour normale principale. Le
premier point resulte immediatement des equations
-q -- - 0.
D'autre part, la composante q etant nulle, nous avons
Z cda — o.
L'axe des z du triedre mobile est done normal at deux positions
consecutives de l'axe des x. En d'autres termes, le plan des xy est
le plan osculateur de la courbe ddcrite par l'origine des coordonnees.
En reduisant toutes les vitesses dans le meme rapport, de maniere que; devienne egale a i, on doit remplacer p, r par —,.
La courbure et la torsion de la courbe sont donnees par les for