Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

226 LIVRE 11. - CHAP. VI.
nmultiplitees par le m~niee nombre et, comme les coordonne'es xi
leur sont proportionnelles, on peuit dire pie ces coordonne'es deineurent invariables, le facteur de proportionnalit6' etanL seut
change', pourvu que Fon rapporte la nouvelle figure aux sphe~res
orthogonales qui de'rivent des sphe~res primitives par I'inversion
conside'ree. On voit ainsi que toutes les proprie'tes ktablies pour
nne figure et indfpeldantes du choix des sphe'res coordonne'es
subsisteront ne'cessairement pour toutes les figures inverses de la
figure conside'ree.
Cette proposition e'Lant adnmise, le the'ore'me dii no 15~4 inontre
Iinim diatemnent que 1'inversion conservera lslge ecubr
de la. surface.
156. Nons terminerons en indiquant les fornmules principales
relatives 'a la sphere. Le'qcuation (2)qui donne la distance de
deux poinis nous permet d'e6crire iimmediatement e'~quation d'nne
sphe're dont le rayon est p et dont le centre a pour coordonne'es
*-., sons la forme
CeLte eq~uation est line'aire par rapport aux coordonne'es xi. Re'ciproquement, toute equation de la forrue
represente une sphe're on nn plan. II suffit, pour le reconnaitre,
de remplacer les xk par leurs expressions (i8) en x, y, z-1. Pour
obtenir le centre et le rayon de cette sphere, il faudra identifier
les equations (43) et (44). On a ainsi les equations
oii u. de'signe le facteur de proportionnalite'.
Comm-e on pent multiplier les cilk par nn nom~bre quelconque,
on peut remiplacer le factenr F. par un nombre arbitrairement
choisi; nous ferons, par exemple,
~L=2.