Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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22 j ~~~LIVRE TI. - CHAP. VI.

forme Md2 (- ~ (2 <d~
On voit que les cyclides posse~dent la proprie'te, que nous avons
dej'reconnune aux surfaces du. second degre' (no 121), d'e'tre divisibles en carre's infiniment petits par letirs lignes de courbure.
On pourra done faire la carte d'une region quelconque trace'e stir
l'uine de ces surfaces.
150'. Dans la the'orie des systemes conjugue's et des lignes asym-i
ptotiques, l'erploi des coordonne'es homogenes no-Ls a permis de
reconnaftre imme'diatemenu et sans calcul que les proprifte's de
ces systemes et de ces lignes subsistent quand on souLmet la suirface 'a une transformation homographique oi. 'a une transform-ation par polaires re'ciprocques. Les coordonne'es homoglenes
d'uin point quielconque ne changent pas, en effet, quand on effectue
une transformation hornographique quelconcjue, pourvu que Von
suppose ce tte transformation effectue'e sur le te'trae~dre de re'f~rence
en meme temps cque sur les points de l'espace. Le syste'me des
coordonne'es pentasphe'riques j ouit d'-une proprie'te analogue par
rapport 'a Finversion. Voici comment on pent le de'montrer.
Rappelons d'abord que la thi'orie dui contact des sphe'res,
celle des centres et des axes de similitude, out conduit ics geaometres 'a conside'rer -le rayon d'une sphe're comme Line quan tit
sucpible de signe; de sorle que, dans beaucoup de recherches, ii
y a le plus grand avantage a regarder comine distincies deux
sphe'res de M eme centre, mais (lout les rayons sont 6'gaux et de
signes contraires. Nous allons voir, en particulier, que, Si l'on so-Liim-teLtiune sphe~re quLelconque 'a une inversion, on peut de'terminer
rationnellernent le rayon de la sphe~re transforme'e en fonaction dii
ray on de la sphe~re proposee.
Soient, en effet,
(38) x = k2X k2Y k2Z
(38) X — Y2-j Z- YXX22~-iY2~2Z2' Zles Forinulues qui de&finissent 1'inversion.
Par l'application de ces, formules 'a la transformation d'uLne