Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES COORDONNEES PENTASPHERIQUES.

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Considerons une surface quelconque et supposons que les coordonnees xi d'un point quelconque de cette surface soient exprimees en fonction de deux variables independantes a, 3. Formons l'equation lineaire
-62 " "020 02 0 0 00
(28) A B - C -D - - o,
AO 2 0 O 0 y2 X
5 laquelle satisfont les cinq coordonnees. Nous allons montrer
qie ses caracteristiques sont les lignes de courbure de la surface.
Si l'on pose, en effet,
0 = ),\
), etant le facteur de proportionnalite qui figure dans les formules
(i 5) et qui est defini par l'quation (I 7), l'equation lineaire prendra
la forme
A 2T I d -' 2 Tc = o;0
d'o6i le terme en 5 a disparu, puisque )e, etant une fonction lineaire
des xi, est une solution particuliere de l'equation (28). L'equation
Xi Si
en a, admettant les cinq solutions ou - qui sont des fonclions
lineairement independantes de x2-jt'2-.-2, x, y-, z, i, devia
admettre comme solutions particulieres les menmes fonctions
I, X, y, z, x2 -t / -2- z.
Ce sera done l'quation consideree au n~ 143 et dont les caracteristiques sont les lignes de courbure. Les caracteristiques de
'dequation en 7 etant les memes que celles de l'equation en 9,
notre proposition est demontree. On en deduit immediatement la
consequence suivante, qui revient au fond au theoreme du n~ 144.
Si l'on connatt cinq solutions particulieres x,,..., x, d'une
cquation lineaire
(29) 0 A -
liees par la r elation
X i2 -= o
les quantites xi sont les coordonnees pentasphe'liques d'un