Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DUJ DE'PLACEM1ENT A UN PARAM~ETRE. I

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53. La me'thode qui nous a permis de les e'tablir met en evidence
quelques propositions qu'il serait aise' de de'montrer autrement et
dont on, fait un usage continuel dans les demonstrations geometriques.
Etant donne'e la courbe gauche (C), si par l'0origine on meaneun
paraillel "a la tangente de cette courbe, de ion gueur e'gale "a i, l'extre'mite6 de cette paralhk1c de'crira une courbe sphe'rique que nous
apeierons, avec M. P. Serret, 1'indicatr-ice sph'rique de la
courbe gauche. Ii re'sultc de cc qui pr'ce~de que la tangente "a li'mdicatrice sphe'rique est paraillel "a la normale principale de la
courbe (C); car le point qui de'crit l'indicatrice est celui qui est
situe' 'a la distance isur I'axe des x du trie~dre (T, ), ct nous avons
Yuque la vitesse de cc point est elgale "aI et paraleIde "a. la normale
principale.
De me'nc, si par l'origine nous menons une droite de Iongucur x, paraiel "a la binormale, 1' extremimiti de cettc droite sera
le point "a la distance i sur I'axc des z du triedre (T4); cc point
aura une vitesse egale 'a ' et qui sera encore paraillel "a la normale
principale; la courbe sphe'riquce qu'il de'crit sera parallel 'a 1'indicatrice: on 1'obtiendra en portant sur ics grands cercics normaux
'a 1indicatrice, et dans un sens convenabic, une longucur e'gale 'a
un quadrant; en d'autrcs termes, cc sera la coarbe polair-e de
1'indicatrice sphe'rique.
6. Nous signalcrons encore le the'ore~me suivant qui est fort
important()
Touate Coar7be, danIS laquelle le rapport est constant, est aine
he'lice tr-acee Sar7 an cylindr-e qaelconqae.
En cifet, si nous conside'rons le miouvement du trie~dre (T,) pa(I) Voir, au sujet de ce th~ordme:
PUISEUX, Problerne de Gebometrie (Journal de Liouville, Ie s~rie, t. VII); BERTRIAND, Sur la COUrbe dont les deux courbUres sonit constantes (Journal de Liouville, Ire s~ric t. XIII); LiOUVILLE, Application de l'Analy-se d la Geomedtrie par,
Monge, 5e 6dition, Note I.