Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES COORDONNEES PENTASPHERIQUES.

' I7

Comme nous n'emploierons que des equations homogenes, le
facteur ni'aura aucune influence sur les resultats. On trouvera
d'ailleurs, en vertu de la formule (i 3),
(16) x- x-2-...+X =
Ainsi nos cinq coordonnees seront toujours, comme il fallait s'y
attendre, liees par une relation homogene. II est aise de montrer
qu'il n'y a pas entre elles d'autre relation et que cinq quantites
satisfaisant a l'equation (I5) determinent un point et un seul.
Remarquons en effet que les equations (i3) et (i4) contiennent
toutes les relations possibles entre les quantites Sk; car, pour determiner un point, trois de ces quantites peuvent etre choisies arbitrairement. D'ailleurs, si l'on substitue dans ces relations l'expression de Sk en x,, la premiere se reduit a l'equation (16) qui
est verifiee par hypothese, la seconde devient
x/,.
(17 ) -2, = 1I
et fait connaitre le facteur de proportionnalite )\.
Aureste, on peut obtenir les expressions de x, y, z en fonction
des variables xA; il suffit de resoudre le systetme
( a, /. -- 2 A/,y 4- 2 `k Z
(18) -2, x2 1 y2_k2_ R2 x2- y2-+- Z2 R S /, X/
ou l'on donne a k les valeurs i, 2,..., 3. En ajoutant ces equations apres les avoir multipliees soit par c^, soit par k, y'k 8,o
zs on trouve, 1
o 5
(19) )2)y =.r/,3, )(x2 -)-y2 92+. R2) =-tR_ STI,.X
1 1
2)Z == — a,.
1

Les deux dernieres equations feront connaitre, par soustraction,