Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DU SYSTEME ORTHOGONAL FORME PAR LES LIGNES DE COURBURE. 211
admettent trois solutions particulieres x, y, z en 7memne temps
que la somme de leurs carrdes x2 +-y2 -+ 2, le systeme de coordonnees curvilignes defizn par les expressions de x, y, z en
fonction de p, p,,?2 est necessairement orthogonal.
Considerons, en effet, l'une des surfaces coordonnees (p); le
systeme de coordonnees curvilignes (p, p2), determine sur cette
surface par les deux autres families, est forme des lignes de courbure de cette surface; car x, y, z, considerees comme des fonctions
de p?, p2, satisfont, en mme temps que x2 +-y2 + Z2 a la premiere des equations precedentes. Les surfaces des trois familles,
se coupant mutuellement suivant leurs lignes de courbure, seront
necessairement orthogonales.
149. Pour ne pas traiter ce sujet d'une maniere incomplete,
nous remarquerons qu'on peut obtenir aisement les coefficients
m, n,... quand on connait l'expression de l'element lineaire
ds2 = H2 d?- + H\ dpI + H2 ld,2
dans le systeme orthogonal. Si l'on differentie, en effet, par rapport
ap i 1'equation
/dX2/\y2 2/.z\ 2
) -w (8y ) = H2,
on aura
OH S Ox ax
) dH dx
et, en remplacant D. - par sa valeur deduite de la derniere equation (44),
dH Sn(dX \ (\ dx dx H a
H - mf 72(7- %2 y 2 - 1f 112H2.
On a donc
I dH
H dp
Si 1'on substitue cette expression et les valeurs analogues
de 2, in, n,... dans les equations (44), on les obtient sous la