Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - CHAP. V.

solutions de l'equation en iu,?,7 (
dp dF dz
-t U - — V —w = 0,
si l'on prend, soil
dx Oy c)z
z _ -, ('z -, -v _.
soil
dx Oy dz
u = C~~~~~ -? = — v = -- '
022 p p2 p2
soit enfin
d2X d2y O2
Zt =, V =, (, W = ____.
0pl 0p2 Opl ^?2 )pl d0?2
Ces systemes ne pouvant etre lineairement independants, il faut
que le dernier soit une combinaison lineaire des deux premiers,
c'est-a-dire que x, y, z soient des solutions particulieres d'une
equation de la forme
di6 dO dO
2~ 0 O0 O0
(41 3 ) -^- = m n -1 — U(43)M dp M 0F dp.1 dit
Les variables p,, pi definissent done, sur la surface (p), un systeme conjugue, et comme, par la nature de la question, ce systeme
est orthogonal, il est necessairement compose des lignes de courbure. On verifie, d'ailleurs, aisement que l'equation lineaire (43)
admet aussi la solution particuliere
0 = x2 -y -.-
148. La demonstration precedente conduit a une nouvelle miethode de recherche des systemes orthogonaux. Nous venons de
voir que les coordonndes xy, z et la somme x2 +yj2 + 2 satisfont a l'equation (43), et il est clair que ces solutions satisfont i
deux autres equations semblables en p, 2p et p,, p. Nons allons montrer, reciproquement, que lor7sque troois equtations linactires de la
fornme,) d )0 d ) d
I 3 p2 010 Op2
(2 ~ d
(44) op2 - - - +1
I 2. d d- O
\ i-)26 6 -
- = 21** - - n^
1p cpip C^p C)pi