Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DU SYSTME1IE ORTHOGONAL FORME PAR LES LIGNES DE COURBURE. 209
II resulte de la que la surface lieu du point (X, Y, Z) aura p, tp pour
paramietres de ses lignes de courbure. Cc resultat est precisement
celui qu'il s'agissait d'etablir.
147. On demontre d'ordinaire la proposition precedente en la
rattachant au theoreme de Dupin, relatif aux lignes de courbure
des surfaces qui font partie d'un systeme triple orthogonal. Nous
donnerons, en terminant ce Chapitre, une demonstration nouvelle
de ce theoreme.
Soient,
(4o) p = f(x, y,), p i = fi(x,, ), 2= 2(x,y, )
les equations de trois familles de surfaces se coupant mucuellement
a angle droit. Si l'on resout ces equations par rapport a x, y,:,
les relations
S X x x x dx Oy d )y )z C)
Op dp dp 0 ' p? 0pi ~0 'I
~/ ) i \ )x3 c)x a_, ( 7 ' y )z ()z _o
Ox dx Ox Orx dy dy a dz
I C~dXd dx~dxI dydy Z; d zd o
p1 092 Ipi 0.2 091 09 02i 012
oi nous employons le signe S de Lame pour indiquer une somme
etendue aux trois coordonnees d'un mmee point, devront avoir
lieu identiquement. Si nous differentions la premiere par rapport
a p., la deuxieme par rapport 'a p, la troisieime par rapport t p,
nous aurons
CS x )dx S jox d2x
ap 0,7~ 4- _+ a- Cp = 0~'
d dp,1d9I a,) o d do dzz,
dx d2x O)dx X0
p ct 2 pr se
et, par suite,,(42) n85~ o2 J do nOx d~x d Ox,)' x,O? deo l 0l72, d on 02 a dr op 2o d. O
D'apres cela, on voit que l'on aura trois systemes diff6rents dc
D. I. I4