Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

10

L.IVRE 1. - CHAP. I.

et l'autre nous donnera la condition
X c da - q ds -_o.
Ainsi la composante q doit e'tre nulle, et les formules (1 2) se
re'duisent aux suivantes:
(i3) ~da - Ad dc
(0) b, -d=cp -ar, 7_ -bp.
11 est aise' d'obtenir la signification geometrique des rotations p
et r.
Menons en effet par un point fixe des paraleIdes aux are'es dui
trie"dre (T); nous obtiendrons un trie~dre (T1) dont la rotation sera
La Mnreme IX un instant quelconque, que celle du tri~de(T.U
point sitne6 'a la distance i sur l'axe des x du trie'dre (T,) aura une
vitesse dont les coinposantes seront, d'apre's les formules (3),
o, r,7 0,
et, par consequent, ce point de'crira le chemin r- ds; on, ce qui est
la Merne chose, la tangente "a la courbe tournera. de l'angle' r ds
quiand son point de contact de'crira l'areci s; done la com'posante i
est 'gale "a la premie~re courbure de la courbe.
En prenant un point situe 'a la distance isur l'axe des z du
trie'dre (T,), on verra. de Mrnie que les composantes de sa vitesse
seront
0, -1~ 0,7
et, par conseqaent, le plan osculateur tournera de I'angle — p ds,
quand le point de la courbe de'crira l'arc ds. En d'autres termes,
-p sera la torsion de la courbe. Ainsi nous~pourrons poser
p et T de'signant les rayons de courbure et de toso, et les -formules (i3) deviendront
(i5) ~da b dc _b db c- a
ds p ds 'c ds o
On reconnalt les formules de J.-A. Serret, qui jouent un role si
important dans la the'orie des courbes gauches.