Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVIRE II. - CHAP. V.

vecteurs reciproques, definie, dans le cas le plus simple, par des
formules telles que les suivantes
(34) X K= x - 2y Z _ K
Y -- -
X2 +,f. t- x:~2 2 a '' -?2 '" _ 4+-
fait correspondre une sphere ou un plan a une sphere ou a un
plan, qu'elle conserve les angles, les rapports de similitude des
elements infiniment petits. Nous allons montrer qu'elle conserve
aussi les lignes de courbure.
Considerons, en effet, une surface quelconque (S), et soient p,?, les paramnetres de ses lignes de courbure. Nous savons quc x,
y, z satisferont a uLne equation de la forme
( 35 ) '3 - -=A — '.Br) 2 O 0
dp d20 d dOp
et cette equation se distingue de toutes celles qui seraient relatives ta d'autres systemes conjugues par la propriete, dejat signalee,
d'admettre aussi conmne solution x2 +-'y -2-H 2. Ces quatre solutions de l'equation (35) s'exprient, au moyen de X, Y, Z, de la
maniere suivante
K2X K2Y K-Z K'",X2 - Y2 -- Z2 X2 Y2 -- Z 2 X 2 Y- 2 -y - Z2 2 X-+- y - Z
Si done on effectue dans I'6eqation (35) la substitution
x =+ \Y -\, - Z.s
l'equation en 5 admettra les solutions particulieres
X, Y, Z, I,
et sera, par consequent, de la forme
(36) _ Ai - Bi — -
o7 071 =0s dIl'
D'ailleurs l'equation (35) admettait la solution evidente 0 = i
et, par consequent, l'equation (36) admettra, en menme temps que
X, Y, Z, la solution
= X9 + Y — 2 Z2.