Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DU SYSTEAIE ORTIOGONAL FORME PAR LES LIGNES DE COURBURE. 207
on obtient l'equation cherchee sous la forme
/ x2 y,2 2
ia, - h a.i - h a3- h
(33)i x y2 _+_ Z2~ R2\ ( x y92 4- z R _2
I:_i a: a O-h
ac - h a.- h
On trouvera de mime les equations qui determinent chaque
ligne de courbure. En effet, les radicaux Oi contiennent d'une
maniere symetrique les trois quantites h, p, o,; l'equation precedente devra done etre encore verifiee quand on y remplacera h
par p et par p,. Cette remarque nous conduit immediatement a la
proposition suivante:
Si, dans l'equation (33), on considere hI cormme un paranmetre variable, les surfaces correspondantes a deux valeurs
distinzctes de h se couperolt miututellemzent sutivant unze liglne de
cotul'buire commnune a ces surfaces.
Si l'on chasse les denominateurs dans I'equation (33), on reconnaitra qcue, le coefficient de h' etant nul, elle est du troisieme
degre seulement par rapport ia h; par consequent, si lon donne
a h toutes les valeurs possibles de maniere a obtenir une famille
de surfaces, il y aura trois surfaces de cette farnille passant par
chaque point de l'espace. Ces trois surfaces, devant se couper
mutuellement suivant des lignes de courbure communes, seront
necessairement orthogonales. Ainsi l'equation (33) definit un
systeme triple orthogonal, analogue a celui qui est forme par les
surfaces du second degre, et compose de trois families representees
par la meme equation. Si Fon suppose, par exemple, a,, a2, a3,
a4 reels et ranges par ordre de grandeur, les trois familles correspondront aux valeurs de h comprises entre a, et a,, entre a, et
C3, entre a3 et a,4.
Les surfaces representees par l'quation (33) sont du quatrieme
ordre et admettent pour ligne double le cercle de l'infini; elles
ont recu le nom de cyclides.
146. Nous indiquerons maintenant une application d'une autre
nature. On sait que l'inversion, ou transformation par rayons